int_{0}^{pi/2} frac{x + sin x}{1 + cos x} dx | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$. सर्वसमिकाओं $1 + \cos x = 2 \cos^{2} \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \c

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$\frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$. सर्वसमिकाओं $1 + \cos x = 2 \cos^{2} \frac{x}{2}$ और $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर: $I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{x + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^{2} \frac{x}{2}} dx$ $I = \int_{0}^{\pi/2} \left( \frac{x}{2} \sec^{2} \frac{x}{2} + 	an \frac{x}{2} ight) dx$ प्रथम पद $\int \frac{x}{2} \sec^{2} \frac{x}{2} dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: माना $u = \frac{x}{2}$,$dv = \sec^{2} \frac{x}{2} dx$. तब $du = \frac{1}{2} dx$ और $v = 2 	an \frac{x}{2}$. $\int \frac{x}{2} \sec^{2} \frac{x}{2} dx = \frac{x}{2} (2 	an \frac{x}{2}) - \int (2 	an \frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} dx = x 	an \frac{x}{2} - \int 	an \frac{x}{2} dx$. इस मान को समाकलन $I$ में प्रतिस्थापित करने पर: $I = [x 	an \frac{x}{2} - \int 	an \frac{x}{2} dx] + \int 	an \frac{x}{2} dx$ $I = [x 	an \frac{x}{2}]_{0}^{\pi/2}$ $I = \frac{\pi}{2} 	an \frac{\pi}{4} - 0 \cdot 	an 0 = \frac{\pi}{2} \cdot 1 = \frac{\pi}{2}$.

$\int_{0}^{\pi/2} \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx =$

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$\int_0^{\pi / 4} \frac{1}{5 \cos ^2 x+16 \sin ^2 x+8 \sin x \cos x} d x=$

यदि $a \in Z^{+}$,$[x]$ वह महत्तम पूर्णांक है जो $x$ से अधिक नहीं है,और $\int_0^a 2^{[x]} dx = 127$ है,तो $a =$

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