જો અતિવલય (hyperbola) ની અનુપ્રસ્થ (transverse) અને સંયુગ્મી (conjugate) અક્ષની લંબાઈ અનુક્રમે $8$ અને $6$ હોય,તો અતિવલય પરના કોઈપણ બિંદુના નાભિ અંતરોનો તફાવત કેટલો થશે?

ધારો કે $X$-અક્ષ એ અતિવલય $H$ ની મુખ્ય અક્ષ (transverse axis) છે અને $Y$-અક્ષ એ તેની અનુબદ્ધ અક્ષ (conjugate axis) છે. જો $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત હોય,અને જો $(5, 4)$ એ $H$ પરનું બિંદુ હોય,તો $H$ ની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ શોધો.

શંકુ $x^2 - (y - 1)^2 = 1$ ના આલેખમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી ધન ઢાળવાળી એક સ્પર્શક રેખા છે. સ્પર્શબિંદુ $(a, b)$ છે. તો શંકુની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી છે?

એક અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો $2x + 3y = 0$ અને $3x + 2y = 0$ ને સમાંતર છે. જેનું કેન્દ્ર $(1, 2)$ પર હોય અને જે $(5, 3)$ માંથી પસાર થાય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

જો $P(\frac{\pi}{4})$ અને $Q(\frac{3 \pi}{4})$ એ અતિવલય $4 x^2-y^2-8 x-2 y-13=0$ પરના બે બિંદુઓ પ્રાચલ સ્વરૂપમાં હોય,તો $P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

જો $P$ એ અતિવલય $16x^2 - 9y^2 = 144$ પરનું એક બિંદુ હોય જેના નાભિઓ $S_1$ અને $S_2$ હોય,તો $|PS_1 - PS_2| = $