જો $|z_1| = 2 , |z_2| =3 , |z_3| = 4$ અને $|2z_1 +3z_2 +4z_3| =9$ ,હોય તો $|8z_2z_3 +27z_3z_1 +64z_1z_2|$ ની કિમત મેળવો 

જો $z$ એ એક સંકર સંખ્યા હોય કે જેથી $|z|^2 - |z| - 2 < 0$ થાય તો $|z^2 + z sin \theta|$ ની કોઈ પણ $\theta$ માટે કિમત મેળવો. 

જો $z$ અને $\omega $ એ બે શૂન્યતર સંકર સંખ્યા છે કે જેથી $|z\omega |\, = 1$ અને $arg(z) - arg(\omega ) = \frac{\pi }{2},$ તો $\bar z\omega $ મેળવો.

વિધાનો

વિધાન $I$: કોઈ બે શુન્યેતર સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2$

માટે $\left(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\right)\left|\frac{z_1}{\left|z_1\right|}+\frac{z_2}{\left|z_2\right|}\right| \leq 2\left(\left|z_1\right|+\left|z_2\right|\right)$ અને

વિધાન $II$ : જો $x, y, z$ એ ત્રણ ભિન્ન સંકર સંખ્યાઓ હોય તથા $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ એ ત્રણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ એવી હોય કે જેથી

$\frac{\mathrm{a}}{|y-z|}=\frac{\mathrm{b}}{|z-x|}=\frac{\mathrm{c}}{|x-y|}$ તો $\frac{\mathrm{a}^2}{y-z}+\frac{\mathrm{b}^2}{z-x}+\frac{\mathrm{c}^2}{x-y}=1$

ધારોકે $A=\left\{\theta \in(0,2 \pi): \frac{1+2 i \sin \theta}{1-i \sin \theta}\right.$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે $\}$. તો $A$ ના ધટકોનો સરવાળો $........$ છે.

જો સંકર સંખ્યા $z$ આપેલ છે કે જેથી $|z| < 2,$ હોય તો $|iz + 6 -8i|$ ની મહત્તમ કિમત મેળવો.