જો f(x) = int_0^{pi/2} frac{ln(1 + x sin^2 th | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(1 + x \sin^2 	heta)}{\sin^2 	heta} d	heta$. સંકલન ચિહ્ન હેઠળ વિકલન માટે લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $f

Vedclass · Accepted Answer

$(A)$ અને $(B)$ બંને

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(1 + x \sin^2 	heta)}{\sin^2 	heta} d	heta$. સંકલન ચિહ્ન હેઠળ વિકલન માટે લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $f'(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\ln(1 + x \sin^2 	heta)}{\sin^2 	heta} ight) d	heta = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{1 + x \sin^2 	heta} d	heta$. અંશ અને છેદને $\sec^2 	heta$ વડે ગુણતા: $f'(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 	heta}{\sec^2 	heta + x 	an^2 	heta} d	heta = \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 	heta}{1 + (1+x) 	an^2 	heta} d	heta$. ધારો કે $u = \sqrt{1+x} 	an 	heta$,તો $du = \sqrt{1+x} \sec^2 	heta d	heta$. $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}} \int_0^{\infty} \frac{du}{1+u^2} = \frac{1}{\sqrt{1+x}} [	an^{-1} u]_0^{\infty} = \frac{\pi}{2\sqrt{1+x}}$. $f'(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $f(x) = \int \frac{\pi}{2\sqrt{1+x}} dx = \pi \sqrt{1+x} + C$. કારણ કે $f(0) = \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(1)}{\sin^2 	heta} d	heta = 0$,તેથી $\pi \sqrt{1} + C = 0 \implies C = -\pi$. આમ,$f(x) = \pi(\sqrt{x+1} - 1)$. $(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

જો $f(x) = \int_0^{\pi/2} \frac{\ln(1 + x \sin^2 \theta)}{\sin^2 \theta} d\theta$,$x \geq 0$ હોય,તો:

Similar Questions

$\int_9^x \frac{f(y)}{y^2} \, dy = 2 \sqrt{x} - 6 \implies f(x) = ?$

જો $f(x) = \int_0^x {t\sin t\,dt} $ હોય,તો $f'(x) = $

આપેલ છે કે $\frac{d}{d x} \int_0^{\phi(x)} f(t) d t=f(\phi(x)) \phi^{\prime}(x)$. બધા $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે,જો $\int_1^{\cos x} t^2 f(t) d t=\cos 2 x$ હોય,તો $f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=$

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} (\cos 2x)^{3/2} \cos x \,dx =$

ધારો કે $H(x) = \int_{x^2}^{x^3} (x + 1) \sin(t^3) dt$ છે. તો $\lim_{x \to 1} \frac{H(x)}{x - 1}$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module