यदि $A_n = \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ और $B_n = \int_{0}^{\pi /2} \left( \frac{\sin(nx)}{\sin x} \right)^2 dx$ जहाँ $n \in N$,तो:

मान लीजिए $f(x) = \min \{[x-1], [x-2], \ldots, [x-10]\}$ जहाँ $[t]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $t$ से छोटा या उसके बराबर है। तो $\int_{0}^{10} f(x) \, dx + \int_{0}^{10} (f(x))^2 \, dx + \int_{0}^{10} |f(x)| \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है जिसका अवकलज $f^{\prime}$ सतत है और $f(\pi)=-6$ है। यदि $F:[0, \pi] \rightarrow R$ को $F(x)=\int_0^{ x } f( t ) dt$ द्वारा परिभाषित किया गया है,और यदि $\int_0^\pi\left(f^{\prime}( x )+ F ( x )\right) \cos x dx =2$ है,तो $f(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $F: R \rightarrow R$ एक तीन बार अवकलनीय फलन है। मान लीजिए $F(1)=0, F(3)=-4$ और सभी $x \in (1/2, 3)$ के लिए $F^{\prime}(x) < 0$ है। मान लीजिए सभी $x \in R$ के लिए $f(x)=x F(x)$ है।
$1.$ सही कथन है(हैं):
$(A) f^{\prime}(1) < 0$
$(B) f(2) < 0$
$(C) \text{किसी भी }x \in (1,3) \text{के लिए }f^{\prime}(x) \neq 0$
$(D)$ कुछ $x \in (1, 3)$ के लिए $f^{\prime}(x)=0$
$2.$ यदि $\int_1^3 x^2 F^{\prime}(x) dx = -12$ और $\int_1^3 x^3 F^{\prime \prime}(x) dx = 40$ है,तो सही व्यंजक है(हैं):
$(A) 9 f^{\prime}(3)+f^{\prime}(1)-32=0$
$(B) \int_1^3 f(x) dx = 12$
$(C) 9 f^{\prime}(3)-f^{\prime}(1)+32=0$
$(D) \int_1^3 f(x) dx = -12$
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए उत्तर दें।

मान लीजिए $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$,जहाँ $n$ एक अऋण पूर्णांक है। तो,$I_{2011} + 2011 I_{2010}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx$. तो $\frac{1}{I_2 + I_4}, \frac{1}{I_3 + I_5}, \frac{1}{I_4 + I_6}, \dots$ किसमें हैं?