यदि f(x) = e^{-x} + 2e^{-2x} + 3e^{-3x} + dot | vedclass

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Question

(B) दी गई श्रेणी $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n(e^{-x})^n$ है। यह $\sum nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ के रूप की एक श्रेणी है जहाँ $x = e^{-x}$ है।अतः,$f(x)

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$\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(B) दी गई श्रेणी $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n(e^{-x})^n$ है। यह $\sum nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ के रूप की एक श्रेणी है जहाँ $x = e^{-x}$ है।अतः,$f(x) = \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}$.हमें $I = \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2} \, dx$ का मान ज्ञात करना है।माना $u = 1 - e^{-x}$. तब $du = e^{-x} \, dx$.जब $x = \ln 2$,तब $u = 1 - e^{-\ln 2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.जब $x = \ln 3$,तब $u = 1 - e^{-\ln 3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.अतः,$I = \int_{1/2}^{2/3} \frac{1}{u^2} \, du = \left[ -\frac{1}{u} \right]_{1/2}^{2/3}$.$I = -\left( \frac{1}{2/3} - \frac{1}{1/2} \right) = -\left( \frac{3}{2} - 2 \right) = -\left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$.

यदि $f(x) = e^{-x} + 2e^{-2x} + 3e^{-3x} + \dots + \infty$ है,तो $\int_{\ln 2}^{\ln 3} f(x) \, dx =$

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$\int_0^\pi |\cos x| \, dx = $

$\int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2n}}}$ का मान $(n \in N)$ है

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{6 x^2 + 1}{4 x^3 + 2 x + 3}, & 0 < x < 1 \\ x^2 + 1, & 1 \le x \le 2 \end{cases}$ है,तो $\int_0^2 f(x) dx =$

मान लीजिए $f(0)=1, f(0.5)=\frac{5}{4}, f(1)=2, f(1.5)=\frac{13}{4}$ और $f(2)=5$ है। सिम्पसन के नियम का उपयोग करते हुए,$\int_0^2 f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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