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Question

(A) माना $u = h(x)$ है। तब $du = h'(x) \, dx$ होगा।जब $x = a$,तब $u = h(a)$। जब $x = b$,तब $u = h(b)$।समाकलन $\int_{h(a)}^{h(b)} [f(g(u))]^{-1} f'(g(u

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$0$

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(A) माना $u = h(x)$ है। तब $du = h'(x) \, dx$ होगा।जब $x = a$,तब $u = h(a)$। जब $x = b$,तब $u = h(b)$।समाकलन $\int_{h(a)}^{h(b)} [f(g(u))]^{-1} f'(g(u)) g'(u) \, du$ बन जाता है।माना $v = g(u)$ है। तब $dv = g'(u) \, du$ होगा।जब $u = h(a)$,तब $v = g(h(a))$। जब $u = h(b)$,तब $v = g(h(b))$।समाकलन $\int_{g(h(a))}^{g(h(b))} [f(v)]^{-1} f'(v) \, dv$ बन जाता है।यह $\int_{g(h(a))}^{g(h(b))} \frac{f'(v)}{f(v)} \, dv = [\ln|f(v)|]_{g(h(a))}^{g(h(b))}$ है।चूंकि $h(a) = h(b)$,इसलिए ऊपरी और निचली सीमाएं समान हैं: $g(h(a)) = g(h(b))$।अतः,समाकलन का मान $0$ है।

List-$I$	List-$II$
$I. \int_{-1}^1 x\|x\| dx$	$(a) \frac{\pi}{2}$
$II. \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \left(\frac{4+3\sin x}{4+3\cos x}\right)\right) dx$	$(b) \int_0^a 2f(x) dx$
$III. \int_0^a f(x) dx$	$(c) \int_0^a [f(x) + f(-x)] dx$
$IV. \int_{-a}^a f(x) dx$	$(d) 0$
	$(e) \int_0^a f(a-x) dx$

यदि $h(a) = h(b)$ है,तो समाकलन $\int_a^b {[f(g(h(x)))]^{-1} f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \, dx} = $ का मान ज्ञात कीजिए।

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