यदि {I_n} = intlimits_0^{frac{pi }{4}} {{{tan | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) हमें ${I_n} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{	an }^n}x\,dx}$ दिया गया है।योग ${I_n} + {I_{n - 2}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(	an^n x

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(B) हमें ${I_n} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{	an }^n}x\,dx}$ दिया गया है।योग ${I_n} + {I_{n - 2}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(	an^n x + 	an^{n-2} x) dx}$ पर विचार करें।${	an^{n-2} x}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,${I_n} + {I_{n - 2}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {	an^{n-2} x (1 + 	an^2 x) dx}$ प्राप्त होता है।चूँकि $1 + 	an^2 x = \sec^2 x$,इसलिए ${I_n} + {I_{n - 2}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {	an^{n-2} x \sec^2 x dx}$।माना $u = 	an x$,तो $du = \sec^2 x dx$। जब $x=0, u=0$ और जब $x=\pi/4, u=1$।अतः,${I_n} + {I_{n - 2}} = \int\limits_0^1 {u^{n-2} du} = \left[ \frac{u^{n-1}}{n-1} ight]_0^1 = \frac{1}{n-1}$।अब,सीमा का मान ज्ञात करते हैं: $\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } n({I_n} + {I_{n - 2}}) = \mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{n}{n-1}$।अंश और हर को $n$ से विभाजित करने पर,$\mathop {\lim }\limits_{n 	o \infty } \frac{1}{1 - 1/n} = 1$ प्राप्त होता है।

यदि ${I_n} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^n}x\,dx}$ है,तो $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,n({I_n} + {I_{n - 2}})$ का मान ज्ञात कीजिए।

Similar Questions

$\int_{2}^{3} \frac{(x+2)^2}{2x^2-10x+53} dx = $

$\int_{-1}^1 x|x| \, dx =$

$\int_{-\pi}^\pi \frac{2 y(1+\sin y)}{1+\cos ^2 y} d y$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int\limits_0^\pi (x \cdot \sin^2 x \cdot \cos x) dx =$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module