જો log (1 - x + {x^2}) = {a_1}x + {a_2}{x^2} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\log(1+z) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \frac{z^4}{4} + \dots$ જ્યાં $|z| < 1$.આપેલ છે કે $\log(1 - x + x^2) = \log((1+

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{3}\log 2$

Vedclass · Answer

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\log(1+z) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \frac{z^4}{4} + \dots$ જ્યાં $|z| આપેલ છે કે $\log(1 - x + x^2) = \log((1+x^3)/(1+x)) = \log(1+x^3) - \log(1+x)$.બંને પદોનું વિસ્તરણ કરતા:$\log(1+x^3) = x^3 - \frac{x^6}{2} + \frac{x^9}{3} - \frac{x^{12}}{4} + \dots$$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} + \dots$આ બંનેની બાદબાકી કરતા,$x^{3k}$ ના સહગુણકો $\log(1+x^3)$ ના પદોમાંથી $\log(1+x)$ ના અનુરૂપ પદો બાદ કરવાથી મળે છે.ખાસ કરીને,$a_{3k} = \frac{(-1)^{k-1}}{k} - \frac{(-1)^{3k-1}}{3k} = \frac{(-1)^{k-1}}{k} - \frac{(-1)^{k-1}}{3k} = \frac{2}{3} \frac{(-1)^{k-1}}{k}$.તેથી,$\sum_{k=1}^{\infty} a_{3k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{3} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \frac{2}{3} (1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + \dots) = \frac{2}{3} \log(2)$.

જો $\log (1 - x + {x^2}) = {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + \dots$ હોય,તો ${a_3} + {a_6} + {a_9} + \dots$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

શ્રેણી $x \log _e a + \frac{x^3}{3!} (\log _e a)^3 + \frac{x^5}{5!} (\log _e a)^5 + \dots$ નું મૂલ્ય શું છે?

$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots \infty = $

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2^2} + \frac{1}{3 \cdot 2^3} - \frac{1}{4 \cdot 2^4} + \ldots$ ની કિંમત શોધો.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{8} + \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{16} + \dots \infty = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module