જો $f(x)$ એ $x$ નું અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f(\cos x)\,dx} $ ની કિંમત શું થાય?

જો $f(x) = \int_0^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt$ અને $g(x) = \int_0^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$ હોય,તો $f(x) + g(x)$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[3]{\sec x}}{\sqrt[3]{\sec x}+\sqrt[3]{\operatorname{cosec} x}} d x=$

ધારો કે $g(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$,જ્યાં $f$ એ $[0, 3]$ માં સતત વિધેય છે જેથી તમામ $t \in [0, 1]$ માટે $\frac{1}{3} \leq f(t) \leq 1$ અને તમામ $t \in (1, 3]$ માટે $0 \leq f(t) \leq \frac{1}{2}$ થાય. $g(3)$ જે અંતરાલમાં આવે છે તે સૌથી મોટો શક્ય અંતરાલ કયો છે?

ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એ એક સતત વિધેય છે જે $f(x) + f(x + k) = n$ નું પાલન કરે છે,તમામ $x \in R$ માટે જ્યાં $k > 0$ અને $n$ એ ધન પૂર્ણાંક છે. જો $I_{1} = \int_{0}^{4nk} f(x) dx$ અને $I_{2} = \int_{-k}^{3k} f(x) dx$ હોય,તો:

ધારો કે $f(x)$ એ એક ધન વિધેય છે,$I_1 = \int_{-\frac{1}{2}}^1 2x f(2x(1-2x)) dx$,અને $I_2 = \int_{-1}^2 f(x(1-x)) dx$. તો $\frac{I_2}{I_1}$ ની કિંમત કેટલી થાય?