यदि f(x),x का एक विषम फलन है,तो int_{ - frac{ | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f(\cos x)\,dx} $. चूंकि $\cos(-x) = \cos x$,फलन $g(x) = f(\cos x)$ एक सम फलन है क्योंकि $g(-x

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$2\int_0^{\frac{\pi }{2}} {f(\sin x)\,dx} $

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f(\cos x)\,dx} $. चूंकि $\cos(-x) = \cos x$,फलन $g(x) = f(\cos x)$ एक सम फलन है क्योंकि $g(-x) = f(\cos(-x)) = f(\cos x) = g(x)$. सम फलन के लिए,गुणधर्म $\int_{-a}^{a} g(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} g(x) \, dx$ लागू होता है। अतः,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} f(\cos x) \, dx$. गुणधर्म $\int_{0}^{a} h(x) \, dx = \int_{0}^{a} h(a-x) \, dx$ का उपयोग करते हुए,$x = \frac{\pi}{2} - t$ प्रतिस्थापित करने पर: $I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} f(\cos(\frac{\pi}{2} - t)) \, dt = 2 \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} f(\sin t) \, dt$. अतः,सही विकल्प $C$ है।

यदि $f(x)$,$x$ का एक विषम फलन है,तो $\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f(\cos x)\,dx} $ का मान क्या होगा?

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