એક વક્ર y = f(x) જે બિંદુ left(1, frac{1}{sqr | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = -x e^{-\frac{x^2}{2}}$ છે.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરતા,$y = \int -x e^{-\frac{x^2}{2}} dx$ મળે.ધારો કે $u

Vedclass · Accepted Answer

$f(x)$ એ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ સંમિત છે.

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = -x e^{-\frac{x^2}{2}}$ છે.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરતા,$y = \int -x e^{-\frac{x^2}{2}} dx$ મળે.ધારો કે $u = -\frac{x^2}{2}$,તો $du = -x dx$ થાય.તેથી,$y = \int e^u du = e^u + C = e^{-\frac{x^2}{2}} + C.$વક્ર બિંદુ $\left(1, \frac{1}{\sqrt{e}}\right)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{e}} = e^{-\frac{1^2}{2}} + C \implies \frac{1}{\sqrt{e}} = \frac{1}{\sqrt{e}} + C \implies C = 0$ મળે.આમ,$f(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}$ છે.આ એક યુગ્મ વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે $y$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત છે,ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ નહીં. તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે.$f'(x) = -x e^{-\frac{x^2}{2}}$,જે તમામ $x$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે,તેથી $f(x)$ એ $x=0$ આગળ વિકલનીય છે.$x  0$ અને $x > 0$ માટે $f'(x)  0$ માટે ઘટતું વિધેય છે.$f''(x) = -e^{-\frac{x^2}{2}} + x^2 e^{-\frac{x^2}{2}} = e^{-\frac{x^2}{2}}(x^2 - 1)$ મળે. $f''(x) = 0$ લેતા $x = \pm 1$ મળે,જે બે નતિપરિવર્તન બિંદુઓ છે.

Similar Questions

સમીકરણ $(xy \cos xy + \sin xy)dx + x^2 \cos xy \, dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $e^{-x}(y+1) dy + (\cos^2 x - \sin 2x) y dx = 0$ નો $x=0, y=1$ આગળ ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y dx - x dy + 3x^2 y^2 e^{x^3} dx = 0$ નો ઉકેલ,જે $x = 1$ હોય ત્યારે $y = 1$ નું સમાધાન કરે છે,તે શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module