मान लीजिए l = mathop {Lim}limits_{x to infty | vedclass

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Question

(A) सबसे पहले,$l$ का मान ज्ञात करें: $l = \mathop {Lim}\limits_{x 	o \infty } [\ln t]_x^{2x} = \mathop {Lim}\limits_{x 	o \infty } (\ln(2x) - \ln x)

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$l \cdot m = l$

Vedclass · Answer

(A) सबसे पहले,$l$ का मान ज्ञात करें: $l = \mathop {Lim}\limits_{x 	o \infty } [\ln t]_x^{2x} = \mathop {Lim}\limits_{x 	o \infty } (\ln(2x) - \ln x) = \mathop {Lim}\limits_{x 	o \infty } \ln(\frac{2x}{x}) = \ln 2$. अब,$m$ का मान ज्ञात करें: $m = \mathop {Lim}\limits_{x 	o \infty } \frac{\int_1^x \ln t \, dt}{x \ln x}$. $L$'Hopital नियम का उपयोग करके,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: अंश: $\frac{d}{dx} \int_1^x \ln t \, dt = \ln x$. हर: $\frac{d}{dx} (x \ln x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$. अतः,$m = \mathop {Lim}\limits_{x 	o \infty } \frac{\ln x}{\ln x + 1} = \mathop {Lim}\limits_{x 	o \infty } \frac{1}{1 + \frac{1}{\ln x}} = \frac{1}{1 + 0} = 1$. इसलिए,$l \cdot m = \ln 2 \cdot 1 = \ln 2 = l$.

मान लीजिए $l = \mathop {Lim}\limits_{x \to \infty } \int\limits_x^{2x} \frac{dt}{t}$ और $m = \mathop {Lim}\limits_{x \to \infty } \frac{1}{x \ln x} \int\limits_1^x \ln t \, dt$ है,तो सही कथन है:

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निश्चित समाकलन $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 5x}}{{\sin x}}\,dx} $ का मान है

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$\int_0^\pi \frac{dx}{1 + \sin x} = $

$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \, dx =$

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