જો I_{m, n} = int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપણને આપેલ છે કે $I_{m, n} = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$. $x = \frac{1}{1+y}$ આદેશ લેતા,$dx = -\frac{1}{(1+y)^2} dy$ મળે. જ્યારે $x=0, y \

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(C) આપણને આપેલ છે કે $I_{m, n} = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$. $x = \frac{1}{1+y}$ આદેશ લેતા,$dx = -\frac{1}{(1+y)^2} dy$ મળે. જ્યારે $x=0, y 	o \infty$ અને જ્યારે $x=1, y=0$. તેથી,$I_{m, n} = \int_{\infty}^{0} (\frac{1}{1+y})^{m-1} (1 - \frac{1}{1+y})^{n-1} (-\frac{1}{(1+y)^2}) dy = \int_{0}^{\infty} \frac{y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$. તે જ રીતે,$I_{m, n} = \int_{0}^{\infty} \frac{y^{m-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$. બંનેનો સરવાળો કરતા,$2I_{m, n} = \int_{0}^{\infty} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$. સંકલનને $y=1$ આગળ વિભાજિત કરતા: $2I_{m, n} = \int_{0}^{1} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy + \int_{1}^{\infty} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$. બીજા સંકલનમાં,$y = \frac{1}{t}$ આદેશ લેતા,$dy = -\frac{1}{t^2} dt$. $\int_{1}^{\infty} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy = \int_{1}^{0} \frac{(1/t)^{m-1} + (1/t)^{n-1}}{(1 + 1/t)^{m+n}} (-1/t^2) dt = \int_{0}^{1} \frac{t^{n-1} + t^{m-1}}{(t+1)^{m+n}} dt$. આમ,$2I_{m, n} = \int_{0}^{1} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy + \int_{0}^{1} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy = 2 \int_{0}^{1} \frac{y^{m-1} + y^{n-1}}{(1+y)^{m+n}} dy$. તેથી,$\int_{0}^{1} \frac{x^{m-1} + x^{n-1}}{(1+x)^{m+n}} dx = I_{m, n}$,જે સૂચવે છે કે $\alpha = 1$.

જો $I_{m, n} = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$ એ $m, n \geq 1$ માટે હોય અને $\int_{0}^{1} \frac{x^{m-1}+x^{n-1}}{(1+x)^{m+n}} dx = \alpha I_{m, n}$,જ્યાં $\alpha \in R$,તો $\alpha$ ની કિંમત .... થાય.

Similar Questions

$\int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{\cos x}}{{1 + {e^x}}}\,dx = } $

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5 \pi}{4}} (|\cos t| \sin t + |\sin t| \cos t) dt =$

જો $f$ એ સતત વિધેય હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

$\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x=$

$\int\limits_{ - a}^a {f(x)\,dx} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module