જો $I_{n} = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{n} x \, dx$ હોય,તો:

ધારો કે ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{1 + x}}} \,dx$ અને ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{e^{{x^3}}}\left( {2 - {x^3}} \right)}}} \,dx$ હોય,તો $\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{2} ( |2x^2 - 3x| + [x - \frac{1}{2}] ) dx$,જ્યાં $[ \cdot ]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે,તેની કિંમત શોધો.

જો $\alpha = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx + \int_{2}^{4} \sqrt{2^x-4} dx$ હોય,તો $\alpha^2$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

ધારો કે $f(x)=(1-x)^2 \sin ^2 x+x^2$ બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે અને $g(x)=\int_1^x \left(\frac{2(t-1)}{t+1}-\ln t\right) f(t) dt$ બધા $x \in (1, \infty)$ માટે.
$1.$ નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $g$ એ $(1, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે
$(B)$ $g$ એ $(1, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે
$(C)$ $g$ એ $(1,2)$ પર વધતું અને $(2, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે
$(D)$ $g$ એ $(1,2)$ પર ઘટતું અને $(2, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે
$2.$ વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$P$ : એવો કોઈ $x \in \mathbb{R}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(x)+2x=2(1+x^2)$
$Q$ : એવો કોઈ $x \in \mathbb{R}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $2f(x)+1=2x(1+x)$
તો
$(A)$ $P$ અને $Q$ બંને સાચા છે
$(B)$ $P$ સાચું છે અને $Q$ ખોટું છે
$(C)$ $P$ ખોટું છે અને $Q$ સાચું છે
$(D)$ $P$ અને $Q$ બંને ખોટા છે
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે જવાબ આપો.

ધારો કે $r_k = \frac{\int_0^1 (1-x^7)^k dx}{\int_0^1 (1-x^7)^{k+1} dx}$,$k \in N$. તો $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{7(r_k-1)}$ નું મૂલ્ય ........... છે.