यदि intlimits_0^1 frac{ln x}{sqrt{1 - x^2}} d | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$. $x = \sin 	heta$ रखने पर,$dx = \cos 	heta d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x 	o 0, 	h

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$1/2$

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(B) माना $I = \int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$. $x = \sin 	heta$ रखने पर,$dx = \cos 	heta d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x 	o 0, 	heta 	o 0$ और जब $x 	o 1, 	heta 	o \pi/2$। $I = \int\limits_0^{\pi/2} \ln(\sin 	heta) d	heta = -\frac{\pi}{2} \ln 2$। अब दाहिने पक्ष $(RHS)$ पर विचार करें: $J = \int\limits_0^\pi \ln(1 + \cos x) dx$। गुणधर्म $\int\limits_0^a f(x) dx = \int\limits_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,$J = \int\limits_0^\pi \ln(1 - \cos x) dx$। $2J = \int\limits_0^\pi \ln(1 - \cos^2 x) dx = \int\limits_0^\pi \ln(\sin^2 x) dx = 2 \int\limits_0^\pi \ln(\sin x) dx$। चूंकि $\int\limits_0^\pi \ln(\sin x) dx = 2 \int\limits_0^{\pi/2} \ln(\sin x) dx = 2(-\frac{\pi}{2} \ln 2) = -\pi \ln 2$,इसलिए $2J = 2(-\pi \ln 2) = -2\pi \ln 2$,जिसका अर्थ है $J = -\pi \ln 2$। $I = kJ$ की तुलना करने पर,$-\frac{\pi}{2} \ln 2 = k(-\pi \ln 2)$,जिससे $k = 1/2$ प्राप्त होता है।

यदि $\int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = k \int\limits_0^\pi \ln(1 + \cos x) dx$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

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