int_{0}^{1} (1 + |sin x|)(ax^2 + bx + c) dx = | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $\int_{0}^{1} (1 + |\sin x|)(ax^2 + bx + c) dx = \int_{0}^{2} (1 + |\sin x|)(ax^2 + bx + c) dx$. हम दाईं ओर को इस प्रकार लिख सकते

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$(1, 2)$ के बीच कम से कम एक वास्तविक मूल

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(A) दिया गया समीकरण: $\int_{0}^{1} (1 + |\sin x|)(ax^2 + bx + c) dx = \int_{0}^{2} (1 + |\sin x|)(ax^2 + bx + c) dx$. हम दाईं ओर को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\int_{0}^{1} (1 + |\sin x|)(ax^2 + bx + c) dx + \int_{1}^{2} (1 + |\sin x|)(ax^2 + bx + c) dx$. दोनों पक्षों से $0$ से $1$ तक के समाकलन को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $\int_{1}^{2} (1 + |\sin x|)(ax^2 + bx + c) dx = 0$. मान लीजिए $f(x) = ax^2 + bx + c$ और $g(x) = 1 + |\sin x|$ है। चूंकि $g(x) > 0$ सभी $x \in [1, 2]$ के लिए है,इसलिए अंतराल $[1, 2]$ पर गुणनफल $f(x)g(x)$ का समाकलन शून्य होने के लिए,फलन $f(x)$ को अंतराल $(1, 2)$ में कम से कम एक बार अपना चिह्न बदलना चाहिए। इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,यदि कोई सतत फलन किसी अंतराल में चिह्न बदलता है,तो उस अंतराल में उसका कम से कम एक मूल होना चाहिए। अतः,$ax^2 + bx + c = 0$ का $(1, 2)$ के बीच कम से कम एक वास्तविक मूल है।

$\int_{0}^{1} (1 + |\sin x|)(ax^2 + bx + c) dx = \int_{0}^{2} (1 + |\sin x|)(ax^2 + bx + c) dx$. तो,$ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों की स्थिति क्या है?

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$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{2 x}{1+\cos ^{2} x} d x=$

मान लीजिए $f(x)$ एक सम फलन (even function) है जिसका आवर्तकाल $2$ है और $f(x)$ प्रत्येक अंतराल पर समाकलनीय है। यदि $g(x) = \int_0^x f(t) dt$ है,तो $g(x+2) =$

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 + \log \left(\frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cdot \cos x\right) dx =$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \left[\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}}\right] dx =$

$\int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{1}{x} \operatorname{cosec}^{101}\left(x-\frac{1}{x}\right) d x=$

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