a 0, t in left( 0, frac{pi}{2} right) के लि | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $x = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}}$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$2 \ln x = (\sin^{-1} t) \ln a$। $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$

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$\frac{x^2 + y^2}{x^2}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $x = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}}$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$2 \ln x = (\sin^{-1} t) \ln a$। $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2}{x} \frac{dx}{dt} = \frac{\ln a}{\sqrt{1-t^2}}$। अतः,$\frac{dx}{dt} = \frac{x \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}$। इसी प्रकार,$y = \sqrt{a^{\cos^{-1} t}} \Rightarrow 2 \ln y = (\cos^{-1} t) \ln a$। $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{2}{y} \frac{dy}{dt} = -\frac{\ln a}{\sqrt{1-t^2}}$। अतः,$\frac{dy}{dt} = -\frac{y \ln a}{2\sqrt{1-t^2}}$। श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-y \ln a / (2\sqrt{1-t^2})}{x \ln a / (2\sqrt{1-t^2})} = -\frac{y}{x}$। अतः,$1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 1 + \left( -\frac{y}{x} \right)^2 = 1 + \frac{y^2}{x^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2}$।

$a > 0, t \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ के लिए,मान लीजिए $x = \sqrt{a^{\sin^{-1} t}}$ और $y = \sqrt{a^{\cos^{-1} t}}$ है। तब,$1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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