एक समान रूप से पतला होता शंक्वाकार तार Y यंग | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए कि ऊपरी सिरा $x=0$ पर और निचला सिरा $x=L$ पर है। ऊपर से $x$ दूरी पर त्रिज्या $r(x) = R + \frac{3R-R}{L}x = R(1 + \frac{2x}{L})$ द्वारा द

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$L\left( {1 + \frac{1}{3}\frac{{Mg}}{{\pi Y{R^2}}}} \right)$

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए कि ऊपरी सिरा $x=0$ पर और निचला सिरा $x=L$ पर है। ऊपर से $x$ दूरी पर त्रिज्या $r(x) = R + \frac{3R-R}{L}x = R(1 + \frac{2x}{L})$ द्वारा दी जाती है।$dx$ लंबाई के एक छोटे तत्व का विस्तार $d\Delta L = \frac{Mg dx}{Y A(x)}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A(x) = \pi r(x)^2 = \pi R^2 (1 + \frac{2x}{L})^2$ है।$x=0$ से $x=L$ तक समाकलन करने पर:$\Delta L = \int_0^L \frac{Mg dx}{\pi Y R^2 (1 + \frac{2x}{L})^2} = \frac{Mg}{\pi Y R^2} \int_0^L (1 + \frac{2x}{L})^{-2} dx$.मान लीजिए $u = 1 + \frac{2x}{L}$,तो $du = \frac{2}{L} dx$,या $dx = \frac{L}{2} du$.जब $x=0, u=1$; जब $x=L, u=3$.$\Delta L = \frac{Mg}{\pi Y R^2} \cdot \frac{L}{2} \int_1^3 u^{-2} du = \frac{MgL}{2 \pi Y R^2} \left[ -\frac{1}{u} \right]_1^3 = \frac{MgL}{2 \pi Y R^2} \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = \frac{MgL}{2 \pi Y R^2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{MgL}{3 \pi Y R^2}$.कुल खिंची हुई लंबाई $L + \Delta L = L + \frac{MgL}{3 \pi Y R^2} = L \left( 1 + \frac{1}{3} \frac{Mg}{\pi Y R^2} \right)$ है।

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