$y = 2x\left( \frac{dy}{dx} \right) + x^2\left( \frac{dy}{dx} \right)^4$ નો ઉકેલ શું છે?

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=1+xe^{y-x}$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ અને $y(0)=0$ છે. તો,$x \in(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ માટે $y(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થાય?

જો $\frac{d^2y}{dx^2} + \sin x = 0$ હોય,તો વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ ...... છે.

વિધાન $-1$: પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ,જેની અક્ષ $x$-અક્ષ છે અને શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ પર છે,તે બિંદુ $P$ ના કોટિ (ordinate) ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
વિધાન $-2$: પરવલયોની સંહતિ $y^2 = 4ax$ એ $1$ ઘાત અને $1$ કક્ષાના વિકલ સમીકરણનું પાલન કરે છે.

વક્ર જે વિકલ સમીકરણ $x y \, dy - (1 + y^2) \, dx = 0$ નું સમાધાન કરે છે તે $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને વક્ર $x^2 + 3y^2 = 3$ ને $\theta$ ખૂણે છેદે છે. તો $\frac{2\theta}{\pi} =$

વિકલ સમીકરણ $x dy = (y + xy^3 (1 + \log_e x)) dx$ નો ઉકેલ શોધો (જ્યાં $C$ એ સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે):