एक सीढ़ी दीवार के सहारे इस प्रकार टिकी है कि उसका निचला सिरा दीवार से $2.5\, m$ की दूरी पर है और उसका ऊपरी सिरा जमीन से $6\, m$ ऊँची खिड़की तक पहुँचता है। सीढ़ी की लंबाई $m$ में ज्ञात कीजिए।

एक त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $AB$ और $BC$ तथा माध्यिका $AD$ एक अन्य त्रिभुज $PQR$ की क्रमशः भुजाओं $PQ$ और $QR$ तथा माध्यिका $PM$ के समानुपाती हैं (आकृति देखिए)। दर्शाइए कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।

$PQR$ एक त्रिभुज है जो $P$ पर समकोण है और $M$,$QR$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $PM \perp QR$ है। सिद्ध कीजिए कि $PM^{2} = QM \cdot MR$ है।

आकृति में,$OA \cdot OB = OC \cdot OD$ दिया गया है। दर्शाइए कि $\angle A = \angle C$ और $\angle B = \angle D$ है।

$18\, m$ ऊँचाई के एक ऊर्ध्वाधर खंभे से जुड़ा एक तार $24\, m$ लंबा है और इसके दूसरे सिरे पर एक खूँटी (stake) जुड़ी हुई है। खंभे के आधार से कितनी दूर खूँटी को गाड़ा जाना चाहिए ताकि तार तना हुआ रहे?

कोष्ठक में दिए गए सही शब्दों का उपयोग करके रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
$(i)$ सभी वृत्त $........$ होते हैं। (सर्वांगसम,समरूप)
$(ii)$ सभी वर्ग $.........$ होते हैं। (समरूप,सर्वांगसम)
$(iii)$ सभी $.........$ त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु,समबाहु)
$(iv)$ भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं,यदि $(a)$ उनके संगत कोण $......$ हों और $(b)$ उनकी संगत भुजाएँ $......$ हों। (बराबर,समानुपाती)