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Question

(C) दी गई व्यंजक $1 + \sum\limits_{r = 0}^{22} {\left( {r^2 + 2r + 1} \right)r!} = 1 + \sum\limits_{r = 0}^{22} {\left( {r + 1} \right)^2 r!}$ है।योग

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$8$

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(C) दी गई व्यंजक $1 + \sum\limits_{r = 0}^{22} {\left( {r^2 + 2r + 1} ight)r!} = 1 + \sum\limits_{r = 0}^{22} {\left( {r + 1} ight)^2 r!}$ है।योग के अंदर के पद को हम इस प्रकार लिख सकते हैं:$(r+1)^2 r! = (r+1)(r+1)r! = (r+1)(r+1)! = (r+2-1)(r+1)! = (r+2)! - (r+1)!$.इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर:$1 + \sum\limits_{r = 0}^{22} {\left( {(r + 2)! - (r + 1)!} ight)}$.यह एक टेलीस्कोपिंग योग है:$1 + [(2! - 1!) + (3! - 2!) + \dots + (24! - 23!)]$.$1 + 24! - 1! = 1 + 24! - 1 = 24!$.चूंकि $24! = k!$ दिया गया है,इसलिए $k = 24$ है।$24$ का अभाज्य गुणनखंडन $2^3 	imes 3^1$ है।भाजकों की संख्या $(3 + 1)(1 + 1) = 4 	imes 2 = 8$ है।

$1 + \sum\limits_{r = 0}^{22} {\left\{ {r\left( {r + 2} \right) + 1} \right\}} \cdot r! = k!$ है,तो $k$ के भाजकों की संख्या क्या है?

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