int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{4x sin x + x^2 cos | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4x \sin x + x^2 \cos x}{2\sqrt{\sin x}} dx$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{4x \sin x + x^2

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$\frac{\pi^2}{4}$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4x \sin x + x^2 \cos x}{2\sqrt{\sin x}} dx$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{4x \sin x + x^2 \cos x}{2\sqrt{\sin x}} = 2x \sqrt{\sin x} + \frac{x^2 \cos x}{2\sqrt{\sin x}}$. ध्यान दें कि यह $f(x) = x^2 \sqrt{\sin x}$ का अवकलज है। गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{d}{dx}(x^2 \sqrt{\sin x}) = 2x \sqrt{\sin x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{\sin x}} \cdot \cos x = 2x \sqrt{\sin x} + \frac{x^2 \cos x}{2\sqrt{\sin x}}$. अतः,समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d}{dx}(x^2 \sqrt{\sin x}) dx$. कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार: $I = [x^2 \sqrt{\sin x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = ((\frac{\pi}{2})^2 \sqrt{\sin(\frac{\pi}{2})}) - (0^2 \sqrt{\sin(0)}) = \frac{\pi^2}{4} \cdot 1 - 0 = \frac{\pi^2}{4}$.

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4x \sin x + x^2 \cos x}{2\sqrt{\sin x}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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