$\int_{0}^{1/3} (\sum_{r=0}^{101} \{x + \frac{r}{3}\}) dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है)।

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^x {(t^2 + 2t + 2)dt}$ जहाँ $x$ उन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जो असमिका $\log_{\sqrt{2}}(1 + \sqrt{6x - x^2 - 8}) \ge 0$ को संतुष्ट करती हैं। यदि $f(x)$ का परिसर $[a, b]$ है,तो $(a + b)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a, b, c$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $\int_0^1 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx} = \int_0^2 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx}$। तो द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के पास:

यदि $f(x) = \text{Max}\{\sin x, \cos x\}$ और $g(x) = \text{Min}\{\sin x, \cos x\}$ है,तो $\int_{0}^{\pi} f(x) dx + \int_{0}^{\pi} g(x) dx = $

मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=a e^{2 x}+b e^x+c x$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि $f(0)=-1$,$f^{\prime}(\log _e 2)=21$,और $\int_0^{\log _e 4}(f(x)-c x) d x=\frac{39}{2}$ है,तो $|a+b+c|$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $f(x)$ एक ऐसा फलन है जो $f'(x) = f(x)$ और $f(0) = 1$ को संतुष्ट करता है और $g(x)$ एक ऐसा फलन है जो $f(x) + g(x) = x^2$ को संतुष्ट करता है। समाकलन $\int_{0}^{1} f(x)g(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।