यदि $f(x) = \text{Max}\{\sin x, \cos x\}$ और $g(x) = \text{Min}\{\sin x, \cos x\}$ है,तो $\int_{0}^{\pi} f(x) dx + \int_{0}^{\pi} g(x) dx = $

सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty} \int _{0}^{1} x^{10} \sin (n x) d x$ का मान क्या है?

$x, t \in R$ के लिए,मान लीजिए $p_t(x) = (\sin t) x^2 - (2 \cos t) x + \sin t$ चर गुणांकों वाले $x$ में द्विघात बहुपदों का एक परिवार है। मान लीजिए $A(t) = \int_0^1 p_t(x) dx$ है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$I$. सभी $t$ के लिए $A(t) < 0$ है।
$II$. $A(t)$ के अनंत क्रांतिक बिंदु हैं।
$III$. अनंत $t$ के लिए $A(t) = 0$ है।
$IV$. सभी $t$ के लिए $A'(t) < 0$ है।

सूची $I$	सूची $II$
$P.$ $\leq 2$ घात वाले गैर-ऋणात्मक पूर्णांक गुणांकों वाले बहुपदों $f(x)$ की संख्या,जो $f(0)=0$ और $\int_0^1 f(x) dx=1$ को संतुष्ट करते हैं,है	$1.$ $8$
$Q.$ अंतराल $(-\sqrt{13}, \sqrt{13})$ में उन बिंदुओं की संख्या जहाँ $f(x)=\sin(x^2)+\cos(x^2)$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है,है	$2.$ $2$
$R.$ $\int_{-2}^2 \frac{3x^2}{1+e^x} dx$ बराबर है	$3.$ $4$
$S.$ $\frac{\int_{-1/2}^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}{\int_0^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}$ बराबर है	$4.$ $0$

कोड: $P \quad Q \quad R \quad S$

यदि $n(2n+1) \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx = 1177 \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$ है,तो $n \in N$ का मान $\dots\dots$ है।

मान लीजिए $\{x\}$ और $[x]$ एक वास्तविक संख्या $x$ के भिन्नात्मक भाग और $x$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को दर्शाते हैं। यदि $\int_{0}^{n}\{x\} dx$,$\int_{0}^{n}[x] dx$ और $10(n^{2}-n)$ $(n \in N, n > 1)$ एक $G.P.$ के तीन लगातार पद हैं,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।