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Question

(D) मान लीजिए $I = \int \frac{1}{x^2 - 1} \ln \left( \frac{x - 1}{x + 1} \right) dx$. हम जानते हैं कि $\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)}$. मान

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$(B)$ और $(C)$ दोनों

Vedclass · Answer

(D) मान लीजिए $I = \int \frac{1}{x^2 - 1} \ln \left( \frac{x - 1}{x + 1} \right) dx$. हम जानते हैं कि $\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)}$. मान लीजिए $t = \ln \left( \frac{x - 1}{x + 1} \right) = \ln(x-1) - \ln(x+1)$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $dt = \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} \right) dx = \left( \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} \right) dx = \frac{2}{x^2 - 1} dx$. अतः,$\frac{1}{x^2 - 1} dx = \frac{1}{2} dt$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int t \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^2}{2} + C = \frac{1}{4} t^2 + C$. $t$ का मान वापस रखने पर: $I = \frac{1}{4} \ln^2 \left( \frac{x - 1}{x + 1} \right) + C$. चूंकि $\ln \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right) = - \ln \left( \frac{x - 1}{x + 1} \right)$,इसका वर्ग करने पर समान परिणाम प्राप्त होता है: $\ln^2 \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right) = \ln^2 \left( \frac{x - 1}{x + 1} \right)$. इसलिए,$(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

$\int {\frac{1}{{{x^2} - 1}}} \,\ln \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right)dx$ का मान ज्ञात कीजिए :

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