श्रेणी frac{3}{1^2} + frac{5}{1^2 + 2^2} + fr | vedclass

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Question

(C) श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = \frac{2n + 1}{\sum_{k=1}^{n} k^2}$ है।वर्गों के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n

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$\frac{6n}{n + 1}$

Vedclass · Answer

(C) श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = \frac{2n + 1}{\sum_{k=1}^{n} k^2}$ है।वर्गों के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$।अतः,$T_n = \frac{2n + 1}{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}} = \frac{6}{n(n + 1)}$।आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर,$T_n = 6 \left[ \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right]$।$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = 6 \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right)$ है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = 6 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) \right]$।$S_n = 6 \left[ 1 - \frac{1}{n + 1} \right] = 6 \left[ \frac{n + 1 - 1}{n + 1} \right] = \frac{6n}{n + 1}$।

श्रेणी $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ के $n$ पदों का योग $.........$ है।

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