int_{-1}^{1} log left( frac{1+x}{1-x} right) | vedclass

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Question

(C) माना कि $f(x) = \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$.हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके यह जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम:$f(-x) = \log \left( \frac{1+

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(C) माना कि $f(x) = \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$.हम $f(-x)$ का मान ज्ञात करके यह जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम:$f(-x) = \log \left( \frac{1+(-x)}{1-(-x)} \right) = \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right) = \log \left( \left( \frac{1+x}{1-x} \right)^{-1} \right) = -\log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) = -f(x)$.चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है।अतः,$\int_{-1}^{1} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \, dx = 0$।

$\int_{-1}^{1} \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \, dx = $

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$x \in (0, \pi/2)$ के लिए $\int_{0}^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

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