int_0^pi x sin^3 x cos^2 x , dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_0^\pi x \sin^3 x \cos^2 x \, dx$  ...$(i)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_0^\pi (\

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2\pi}{15}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_0^\pi x \sin^3 x \cos^2 x \, dx$  ...$(i)$ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^3(\pi - x) \cos^2(\pi - x) \, dx$કારણ કે $\sin(\pi - x) = \sin x$ અને $\cos(\pi - x) = -\cos x$,તેથી:$I = \int_0^\pi (\pi - x) \sin^3 x \cos^2 x \, dx$  ...(ii)$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:$2I = \int_0^\pi \pi \sin^3 x \cos^2 x \, dx = \pi \int_0^\pi (1 - \cos^2 x) \cos^2 x \sin x \, dx$ધારો કે $t = \cos x$,તો $dt = -\sin x \, dx$. સીમાઓ $0 	o \pi$ થી બદલાઈને $1 	o -1$ થશે:$2I = \pi \int_1^{-1} (1 - t^2) t^2 (-dt) = \pi \int_{-1}^1 (t^2 - t^4) \, dt$$2I = \pi \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5} ight]_{-1}^1 = \pi \left( (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) - (-\frac{1}{3} + \frac{1}{5}) ight) = \pi \left( \frac{2}{15} + \frac{2}{15} ight) = \frac{4\pi}{15}$$I = \frac{2\pi}{15}$

$\int_0^\pi x \sin^3 x \cos^2 x \, dx =$

Similar Questions

જો $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના બરાબર મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે,તો સંકલન $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} [[x] - \sin x] \, dx$ ની કિંમત કેટલી થાય?

$\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x=$

સંકલન $\int_{-1}^{1} \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} \frac{1}{x} \right) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{x}{{\tan }^{2015}}\left( {x - \frac{1}{x}} \right)dx} $ ની કિંમત શોધો.

જો $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1 + \sin x + \cos x} = \ln 2$ આપેલ હોય,તો નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \sin x + \cos x} dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module