श्रेणी frac{3}{1^2} + frac{5}{1^2 + 2^2} + fr | vedclass

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Question

(C) श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = \frac{2n + 1}{\sum_{k=1}^{n} k^2}$ है।वर्गों के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n

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$\frac{6n}{n + 1}$

Vedclass · Answer

(C) श्रेणी का $n$ वां पद $T_n = \frac{2n + 1}{\sum_{k=1}^{n} k^2}$ है।वर्गों के योग के सूत्र का उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$।अतः,$T_n = \frac{2n + 1}{\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}} = \frac{6}{n(n + 1)}$।आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर,$T_n = 6 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)$।$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = 6 \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right)$।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = 6 \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right) = \frac{6n}{n + 1}$।

श्रेणी $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + ...$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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