int frac{1+sin (log x)}{1+cos (log x)} d x= | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \frac{1+\sin (\log x)}{1+\cos (\log x)} d x$. $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। अतः,$I

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$x \cdot 	an \left(\frac{\log x}{2}ight)+c$,जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \frac{1+\sin (\log x)}{1+\cos (\log x)} d x$. $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int \frac{1+\sin t}{1+\cos t} e^t dt$. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1+\cos t = 2\cos^2(t/2)$ और $\sin t = 2\sin(t/2)\cos(t/2)$ का उपयोग करने पर: $I = \int \frac{\sin^2(t/2) + \cos^2(t/2) + 2\sin(t/2)\cos(t/2)}{2\cos^2(t/2)} e^t dt$. $I = \frac{1}{2} \int (	an^2(t/2) + 1 + 2	an(t/2)) e^t dt$. $I = \frac{1}{2} \int (\sec^2(t/2) + 2	an(t/2)) e^t dt$. सूत्र $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = 	an(t/2)$ और $f'(t) = \frac{1}{2}\sec^2(t/2)$: $I = e^t 	an(t/2) + c$. $t = \log x$ वापस रखने पर,$I = x 	an \left(\frac{\log x}{2}ight) + c$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{1+\sin (\log x)}{1+\cos (\log x)} d x=$

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$\int \frac{\log _e x}{\left(1+\log _e x\right)^2} d x=$

समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int {\frac{{{e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}}}{{(1 + {x^2})}}\,\,\left[ {{{\left( {{{\sec }^{ - 1}}\,\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}\,\, + \,\,{{\cos }^{ - 1}}\,\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)} \right]} \,\,\,dx$ जहाँ $x > 0$.

$\int {{e^x}\left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 - \cos x}}} \right)dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_1^2 {{e^x}\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\,dx = } $

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