$A$ અને $B$ એ ત્રિકોણ $PQR$ ની બાજુઓ $PQ$ અને $PR$ પરના બિંદુઓ છે,જેથી $PQ = 12.5 \, cm$,$PA = 5 \, cm$,$BR = 6 \, cm$ અને $PB = 4 \, cm$ છે. શું $AB \parallel QR$ છે? તમારા જવાબ માટે કારણ આપો.

(A) આપેલ છે: $PQ = 12.5 \, cm$,$PA = 5 \, cm$,$BR = 6 \, cm$ અને $PB = 4 \, cm$.
પ્રથમ,$AQ$ ની લંબાઈ શોધો:
$AQ = PQ - PA = 12.5 - 5 = 7.5 \, cm$.
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરો:
$\frac{PA}{AQ} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}$ ......$(i)$
$\frac{PB}{BR} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ......$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે:
$\frac{PA}{AQ} = \frac{PB}{BR}$
પ્રમેય $6.2$ (થેલ્સના પ્રમેયનું પ્રતિપ) મુજબ,જો કોઈ રેખા ત્રિકોણની બે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે,તો તે રેખા ત્રીજી બાજુને સમાંતર હોય છે.
તેથી,$AB \parallel QR$ છે.