સાપેક્ષ વક્રીભવનાંકની બે વ્યાખ્યાઓ અને સમીકરણો લખો.

એક માધ્યમમાં પ્રકાશના તરંગની આવૃત્તિ $2 \times 10^{14} \ Hz$ છે અને તરંગલંબાઈ $5000 \ \mathring{A}$ છે. તો તે માધ્યમનો વક્રીભવનાંક કેટલો હશે?

પાણીમાં (વક્રીભવનાંક $n$) રહેલી એક માછલી હવામાં તેની બરાબર ઉપર ઉડતા પક્ષીને જુએ છે. જો પક્ષીની ઊંચાઈ $y$ હોય અને સપાટીથી માછલીની ઊંડાઈ $x$ હોય,તો માછલી દ્વારા અંદાજિત પક્ષીનું અંતર કેટલું હશે?

માધ્યમ $A$ માં $300 \ nm$ તરંગલંબાઈ ધરાવતો પ્રકાશ એક સમતલ સપાટી દ્વારા માધ્યમ $B$ માં પ્રવેશે છે. જો પ્રકાશની આવૃત્તિ $5 \times 10^{14} \ Hz$ હોય અને માધ્યમ $A$ માં પ્રકાશની ઝડપ અને માધ્યમ $B$ માં પ્રકાશની ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{4}{5}$ હોય,તો માધ્યમ $B$ નો નિરપેક્ષ વક્રીભવનાંક કેટલો થાય?

માધ્યમના પ્રકાશીય ગુણધર્મો સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $(\epsilon_r)$ અને સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $(\mu_r)$ દ્વારા નક્કી થાય છે. વક્રીભવનાંક $n = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. સામાન્ય પદાર્થો માટે $\epsilon_r > 0$ અને $\mu_r > 0$ હોય છે અને વર્ગમૂળ માટે ધન ચિહ્ન લેવામાં આવે છે. $1964$ માં,રશિયન વૈજ્ઞાનિક વી. વેસેલાગોએ $\epsilon_r < 0$ અને $\mu_r < 0$ ધરાવતા પદાર્થોના અસ્તિત્વની આગાહી કરી હતી. ત્યારથી,આવી 'મેટા-મટીરીયલ્સ' પ્રયોગશાળાઓમાં બનાવવામાં આવી છે અને તેમના પ્રકાશીય ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. આવા પદાર્થો માટે $n = -\sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ હોય છે. જ્યારે પ્રકાશ આવા વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તરંગો પ્રસરણની દિશાથી વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
$(i)$ ઉપરના વર્ણન મુજબ,દર્શાવો કે જો પ્રકાશના કિરણો હવા (વક્રીભવનાંક $= 1$) માંથી આવા માધ્યમમાં $2^{nd}$ ચરણમાં $\theta_i$ ખૂણે પ્રવેશે,તો વક્રીભૂત કિરણ $3^{rd}$ ચરણમાં હોય છે.
$(ii)$ સાબિત કરો કે આવા માધ્યમ માટે સ્નેલનો નિયમ લાગુ પડે છે.

પાણીની સપાટી તરફ $3 \, m/s$ ના દરે ઊર્ધ્વદિશામાં ઉપર આવતી માછલી પાણીની ઉપર રહેલા એક પક્ષીને $9 \, m/s$ ના દરે પોતાની તરફ નીચે આવતું જુએ છે. પાણીનો વક્રીભવનાંક $4/3$ છે. પક્ષીનો વાસ્તવિક વેગ (જમીનની સાપેક્ષે વેગ) $m/s$ માં શોધો.