बिना विस्तार किए सिद्ध कीजिए कि $\Delta = \begin{vmatrix} x+y & y+z & z+x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
(A) सारणिक $\Delta$ पर पंक्ति संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\Delta = \begin{vmatrix} x+y+z & x+y+z & x+y+z \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$.
$R_{1}$ से $(x+y+z)$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\Delta = (x+y+z) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$.
चूंकि पंक्ति $R_{1}$ और पंक्ति $R_{3}$ समान हैं,इसलिए सारणिक के गुणों के अनुसार सारणिक का मान $0$ है। अतः,$\Delta = (x+y+z) \times 0 = 0$.
$R_{1}$ से $(x+y+z)$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\Delta = (x+y+z) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$.
चूंकि पंक्ति $R_{1}$ और पंक्ति $R_{3}$ समान हैं,इसलिए सारणिक के गुणों के अनुसार सारणिक का मान $0$ है। अतः,$\Delta = (x+y+z) \times 0 = 0$.
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