ત્રિ-આયનીકૃત બેરિલિયમ $(Be^{3+})$ ની કઈ અવસ્થાની કક્ષીય ત્રિજ્યા હાઇડ્રોજનની ધરા અવસ્થાની ત્રિજ્યા જેટલી જ હોય છે?

એક ઉત્તેજિત $He^+$ આયન ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં સંક્રમણ કરતી વખતે ક્રમશઃ $108.5 \, nm$ અને $30.4 \, nm$ તરંગલંબાઇ ધરાવતા બે ફોટોન ઉત્સર્જિત કરે છે. તેના પ્રારંભિક ઉત્તેજિત અવસ્થાને અનુરૂપ ક્વોન્ટમ નંબર $n = ........$ છે. ($\lambda$ તરંગલંબાઇ ધરાવતા ફોટોન માટે, ઉર્જા $E = \frac{1240 \, eV}{\lambda \, (nm \, \text{માં})}$)

ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં હાઇડ્રોજન પરમાણુની ત્રિજ્યા $0.53 \ Å$ છે. ઇલેક્ટ્રોન સાથે અથડામણ પછી,તેની ત્રિજ્યા $2.12 \ Å$ માલૂમ પડે છે,તો પરમાણુની અંતિમ અવસ્થાનો મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ કેટલો હશે?

હાઇડ્રોજન જેવા આયનની તેની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઉત્તેજન ઉર્જા $40.8 \, eV$ છે. આયનને તેની ભૂમિ અવસ્થા (ground state) માંથી ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા ........ $eV$ છે.

હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = V_0 \ln \left( \frac{r}{r_0} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે; જ્યાં $r_0$ અચળ છે. આ તંત્ર બોહર મૉડલને અનુસરે છે તેમ ધારીને,ત્રિજ્યા $r_n$ અને મુખ્ય ક્વૉન્ટમ આંક $n$ વચ્ચેનો સંબંધ શોધો.

ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં રહેલો હાઇડ્રોજન પરમાણુ $\Delta E$ જેટલી ઉર્જાનું શોષણ કરે છે. જો ઇલેક્ટ્રોનનો કોણીય વેગમાન $\frac{h}{2 \pi}$ ($h=$ પ્લાન્કનો અચળાંક) જેટલો વધારવામાં આવે,તો $\Delta E$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે ($eV$ માં)?