0

Question

(D) આપણી પાસે સંકલન $I = \int_0^1 \frac{dx}{x^2 + 2x\cos \alpha + 1}$ છે.છેદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^2 + 2x\cos \alpha + \cos^2 \alpha + 1 - \cos^2 \a

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\alpha}{2 \sin \alpha}$

Vedclass · Answer

(D) આપણી પાસે સંકલન $I = \int_0^1 \frac{dx}{x^2 + 2x\cos \alpha + 1}$ છે.છેદમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^2 + 2x\cos \alpha + \cos^2 \alpha + 1 - \cos^2 \alpha = (x + \cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha$.તેથી,$I = \int_0^1 \frac{dx}{(x + \cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha}$.પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \left[ \frac{1}{\sin \alpha} 	an^{-1}\left( \frac{x + \cos \alpha}{\sin \alpha} ight) ight]_0^1$.સીમાઓ મૂકતા:$I = \frac{1}{\sin \alpha} \left[ 	an^{-1}\left( \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} ight) - 	an^{-1}\left( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} ight) ight]$.ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot(\frac{\alpha}{2})$ અને $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \frac{1}{\sin \alpha} \left[ 	an^{-1}(\cot \frac{\alpha}{2}) - 	an^{-1}(\cot \alpha) ight]$.કારણ કે $	an^{-1}(\cot 	heta) = \frac{\pi}{2} - 	heta$:$I = \frac{1}{\sin \alpha} \left[ (\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) - (\frac{\pi}{2} - \alpha) ight] = \frac{1}{\sin \alpha} [\frac{\alpha}{2}] = \frac{\alpha}{2 \sin \alpha}$.

$0 < \alpha < \pi$ માટે નિશ્ચિત સંકલન $\int_0^1 \frac{dx}{x^2 + 2x\cos \alpha + 1}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

Similar Questions

$\int_1^2 \frac{x^4-1}{x^6-1} d x=$

ધારો કે $f(0)=1, f(0.5)=\frac{5}{4}, f(1)=2, f(1.5)=\frac{13}{4}$ અને $f(2)=5$ છે. સિમ્પસનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,$\int_0^2 f(x) dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $\beta + 2 \int\limits_0^1 {{x^2}\,{e^{ - {x^2}}}}\, dx = \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}}\, dx$ હોય,તો $\beta$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module