int_{0}^{1} left( prod_{r=1}^{n} (x+r) right) | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $f(x) = \prod_{r=1}^{n} (x+r)$.તેથી $\ln(f(x)) = \sum_{k=1}^{n} \ln(x+k)$.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{f'(x)}{f(x)}

Vedclass · Accepted Answer

$n \cdot n!$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $f(x) = \prod_{r=1}^{n} (x+r)$.તેથી $\ln(f(x)) = \sum_{k=1}^{n} \ln(x+k)$.બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{f'(x)}{f(x)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x+k}$ મળે છે.આમ,$f'(x) = f(x) \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x+k}$.સંકલન $\int_{0}^{1} f'(x) dx = [f(x)]_{0}^{1}$ બને છે.$f(1) = \prod_{r=1}^{n} (1+r) = 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n+1) = (n+1)!$.$f(0) = \prod_{r=1}^{n} (0+r) = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n = n!$.તેથી,સંકલનનું મૂલ્ય $(n+1)! - n! = n!(n+1-1) = n \cdot n!$ થાય છે.

$\int_{0}^{1} \left( \prod_{r=1}^{n} (x+r) \right) \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x+k} \right) dx$ નું મૂલ્ય શું થાય?

Similar Questions

જો $n = 1, 2, 3, \ldots$ માટે $I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n \theta \, d\theta$ હોય,તો $I_{n-1} + I_{n+1}$ ની કિંમત શું થાય?

જો $\int_a^b x^3 dx = 0$ અને $\int_a^b x^2 dx = \frac{2}{3}$ હોય,તો $a$ અને $b$ અનુક્રમે શું થાય?

જો $I=\int_1^3 \sqrt{3+x+x^2} dx$ હોય,તો $I$ કયા અંતરાલમાં આવે છે?

સંકલન $\int_0^2 \frac{\sqrt{x}(x^2 + x + 1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x^4+x^2+1})} dx$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

$\int_0^a {x^4 \sqrt{a^2 - x^2}} \,dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module