int_{ - 1}^1 {frac{{sin x - {x^2}}}{{3 - |x|} | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{ - 1}^1 {\frac{{\sin x - {x^2}}}{{3 - |x|}}} \,dx$. हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{ - 1}^1 {\frac{{\sin x}

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$2\int_0^1 {\frac{{ - {x^2}}}{{3 - |x|}}} \,dx$

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(C) माना $I = \int_{ - 1}^1 {\frac{{\sin x - {x^2}}}{{3 - |x|}}} \,dx$. हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{ - 1}^1 {\frac{{\sin x}}{{3 - |x|}}} \,dx - \int_{ - 1}^1 {\frac{{{x^2}}}{{3 - |x|}}} \,dx$. माना $f(x) = \frac{{\sin x}}{{3 - |x|}}$ और $g(x) = \frac{{{x^2}}}{{3 - |x|}}$. $f(x)$ के लिए,$f(-x) = \frac{{\sin(-x)}}{{3 - |-x|}} = \frac{{-\sin x}}{{3 - |x|}} = -f(x)$,इसलिए $f(x)$ एक विषम फलन है। अतः,$\int_{ - 1}^1 {\frac{{\sin x}}{{3 - |x|}}} \,dx = 0$. $g(x)$ के लिए,$g(-x) = \frac{{(-x)^2}}{{3 - |-x|}} = \frac{{{x^2}}}{{3 - |x|}} = g(x)$,इसलिए $g(x)$ एक सम फलन है। अतः,$\int_{ - 1}^1 {\frac{{{x^2}}}{{3 - |x|}}} \,dx = 2\int_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{3 - |x|}}} \,dx$. इन मानों को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर: $I = 0 - 2\int_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{3 - |x|}}} \,dx = 2\int_0^1 {\frac{{ - {x^2}}}{{3 - |x|}}} \,dx$.

$\int_{ - 1}^1 {\frac{{\sin x - {x^2}}}{{3 - |x|}}\,dx} $ का मान है

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