int_1^2 {log x,dx} का मान क्या है? | vedclass

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Question

(C) $\int_1^2 \log x \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$

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$\log(4/e)$

Vedclass · Answer

(C) $\int_1^2 \log x \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. माना $u = \log x$ और $dv = dx$. तब $du = \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ होगा। सूत्र का उपयोग करने पर: $\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \log x - \int 1 \, dx = x \log x - x$. अब,$1$ से $2$ तक की सीमाएं लागू करने पर: $[x \log x - x]_1^2 = (2 \log 2 - 2) - (1 \log 1 - 1)$. चूंकि $\log 1 = 0$,इसलिए: $(2 \log 2 - 2) - (0 - 1) = 2 \log 2 - 2 + 1 = 2 \log 2 - 1$. $n \log a = \log(a^n)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें $2 \log 2 = \log(2^2) = \log 4$ प्राप्त होता है। साथ ही,$1 = \log e$. अतः,$\log 4 - \log e = \log(4/e)$.

$\int_1^2 {\log x\,dx} $ का मान क्या है?

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