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Question

(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_k = \frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम $T_k = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k

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$1/2$

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(A) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_k = \frac{1}{(2k - 1)(2k + 1)}$ है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करके,हम $T_k = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k - 1} - \frac{1}{2k + 1} ight)$ लिख सकते हैं।प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \frac{1}{2} \left[ \left( 1 - \frac{1}{3} ight) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} ight) + \dots + \left( \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} ight) ight]$ है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n + 1} ight)$।जब $n 	o \infty$ हो,तब सीमा लेने पर,$\lim_{n 	o \infty} S_n = \frac{1}{2} (1 - 0) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \frac{1}{3 \times 4 \times 5} + \frac{1}{4 \times 5 \times 6} + \dots + \frac{1}{100 \times 101 \times 102} = \frac{k}{101}$ है,तो $34k$ का मान $.....$ है।

यदि $\frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + \dots (n \text{ पद}) = \frac{k n}{4(n + 1)}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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श्रेणी $\frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 11} + \ldots$ के प्रथम $n$ पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।

श्रेणी $\frac{1}{1} + \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \dots$ का $(n + 1)$ पदों तक का योग क्या है?

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