int e^{tan ^{-1} x} cdot frac{1+x+x^2}{1+x^2} | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int e^{	an ^{-1} x} \cdot \frac{1+x+x^2}{1+x^2} dx$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int e^{	an ^{-1} x} \left( \frac{1+x

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$x e^{	an ^{-1} x} + c$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int e^{	an ^{-1} x} \cdot \frac{1+x+x^2}{1+x^2} dx$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int e^{	an ^{-1} x} \left( \frac{1+x^2}{1+x^2} + \frac{x}{1+x^2} ight) dx$ $I = \int e^{	an ^{-1} x} \left( 1 + \frac{x}{1+x^2} ight) dx$ $I = \int e^{	an ^{-1} x} dx + \int e^{	an ^{-1} x} \cdot \frac{x}{1+x^2} dx$. प्रथम समाकलन $\int e^{	an ^{-1} x} \cdot 1 dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: माना $u = e^{	an ^{-1} x}$ और $dv = dx$. तब $du = e^{	an ^{-1} x} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$ और $v = x$. सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर: $\int e^{	an ^{-1} x} dx = x e^{	an ^{-1} x} - \int x \cdot e^{	an ^{-1} x} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$. इस मान को $I$ के समीकरण में रखने पर: $I = \left( x e^{	an ^{-1} x} - \int \frac{x e^{	an ^{-1} x}}{1+x^2} dx ight) + \int \frac{x e^{	an ^{-1} x}}{1+x^2} dx + c$. $I = x e^{	an ^{-1} x} + c$.

$\int e^{\tan ^{-1} x} \cdot \frac{1+x+x^2}{1+x^2} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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