mathop {text{Lim}}limits_{n to infty } ,,suml | vedclass

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Question

(C) माना कि दिया गया योग $S_n = \sum_{r=1}^{4n} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{r}(3\sqrt{r} + 4\sqrt{n})^2}$ है।अंश और हर को $n\sqrt{n}$ से विभाजित करने पर:$S_

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$\frac{1}{{10}}$

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(C) माना कि दिया गया योग $S_n = \sum_{r=1}^{4n} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{r}(3\sqrt{r} + 4\sqrt{n})^2}$ है।अंश और हर को $n\sqrt{n}$ से विभाजित करने पर:$S_n = \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{4n} \frac{1}{\sqrt{\frac{r}{n}} (3\sqrt{\frac{r}{n}} + 4)^2}$.जैसे ही $n 	o \infty$,यह योग निश्चित समाकलन बन जाता है:$S = \int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x}(3\sqrt{x} + 4)^2}$.माना $t = 3\sqrt{x} + 4$. तब $dt = \frac{3}{2\sqrt{x}} dx$,जिसका अर्थ है $\frac{dx}{\sqrt{x}} = \frac{2}{3} dt$.जब $x = 0$,तब $t = 4$. जब $x = 4$,तब $t = 3(2) + 4 = 10$.इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$S = \int_4^{10} \frac{1}{t^2} \cdot \frac{2}{3} dt = \frac{2}{3} \left[ -\frac{1}{t} ight]_4^{10} = \frac{2}{3} \left( -\frac{1}{10} + \frac{1}{4} ight) = \frac{2}{3} \left( \frac{-2 + 5}{20} ight) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{20} = \frac{1}{10}$.

$\mathop {\text{Lim}}\limits_{n \to \infty } \,\,\sum\limits_{r = 1}^{4n} {\frac{{\sqrt n }}{{\sqrt r {{\left( {\,3\sqrt r + 4\sqrt n \,} \right)}^2}}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{1^p} + {2^p} + {3^p} + ..... + {n^p}}}{{{n^{p + 1}}}} = $

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{e^{1 / n}}+\frac{1}{e^{2 / n}}+\frac{1}{e^{3 / n}}+\ldots+\frac{1}{e^{2n/n}}\right)=$

निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \ldots \left( {3n} \right)}}{{{n^{2n}}}}} \right)^{\frac{1}{n}}} = $

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{n}{(n+1)^{2}}+\frac{n}{(n+2)^{2}}+\ldots+\frac{n}{(2 n-1)^{2}}\right]$ का मान ...... है।

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