श्रेणी frac{3}{1^2} + frac{5}{1^2 + 2^2} + fr | vedclass

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Question

(C) दी गई श्रेणी $\sum_{n=1}^{11} T_n$ है,जहाँ $n$-वाँ पद $T_n$ इस प्रकार है:$T_n = \frac{2n+1}{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}$प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं

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$\frac{11}{2}$

Vedclass · Answer

(C) दी गई श्रेणी $\sum_{n=1}^{11} T_n$ है,जहाँ $n$-वाँ पद $T_n$ इस प्रकार है:$T_n = \frac{2n+1}{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}$प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:$T_n = \frac{2n+1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6}{n(n+1)}$आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करने पर:$T_n = 6 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} ight)$अब,$n$ पदों का योगफल $S_n$ है:$S_n = \sum_{k=1}^n 6 \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} ight) = 6 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) ight]$$S_n = 6 \left( 1 - \frac{1}{n+1} ight) = \frac{6n}{n+1}$$n=11$ पदों के लिए:$S_{11} = \frac{6 	imes 11}{11+1} = \frac{66}{12} = \frac{11}{2}$

श्रेणी $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ के $11$ पदों का योगफल क्या है?

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