એક વિધેય y = f(x) એ શરત f'(x) sin x + f(x) co | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $f'(x) \sin x + f(x) \cos x = 1$ છે. આને $\frac{d}{dx} (f(x) \sin x) = 1$ તરીકે લખી શકાય છે. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કર

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{2} < I < \frac{\pi^2}{4}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $f'(x) \sin x + f(x) \cos x = 1$ છે. આને $\frac{d}{dx} (f(x) \sin x) = 1$ તરીકે લખી શકાય છે. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $f(x) \sin x = x + C$ મળે છે. તેથી,$f(x) = \frac{x + C}{\sin x}$. જેમ કે $x ightarrow 0$ હોય ત્યારે $f(x)$ સીમિત છે,તેથી $\lim_{x ightarrow 0} \frac{x + C}{\sin x}$ સીમિત હોવું જોઈએ. $\lim_{x ightarrow 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,મર્યાદા ત્યારે જ સીમિત રહે છે જો $C = 0$ હોય. તેથી,$f(x) = \frac{x}{\sin x}$. આપણે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin x} \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે. $x \in (0, \frac{\pi}{2}]$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{	an x} આમ,$x \in (0, \frac{\pi}{2}]$ માટે $f(x) > 1$. વધુમાં,આલેખ અથવા ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \frac{x}{\sin x}$ એ $(0, \frac{\pi}{2}]$ પર વધતું વિધેય છે જ્યાં $f(0^+) = 1$ અને $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$. $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે $1 આથી $\frac{\pi}{2} < I < \frac{\pi^2}{4}$ મળે છે.

એક વિધેય $y = f(x)$ એ શરત $f'(x) \sin x + f(x) \cos x = 1$ નું પાલન કરે છે,જ્યાં $x \rightarrow 0$ હોય ત્યારે $f(x)$ સીમિત છે. જો $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$ હોય,તો:

Similar Questions

જો $y$ એ $x$ નું વિધેય હોય,તો $\frac{d^2y}{dx^2} + y \frac{dy}{dx} = 0$ છે. જો $x$ એ $y$ નું વિધેય હોય,તો સમીકરણ શું બનશે?

જો $y = \frac{x}{\log_e|cx|}$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi\left(\frac{x}{y}\right)$ નો ઉકેલ હોય,તો $\phi\left(\frac{x}{y}\right)$ શું થાય?

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin y + e^x}{\ln y - x \cos y}$ નો ઉકેલ શોધો.

$\frac{d^2y}{dx^2} = \cos x - \sin x$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module