અતિવલય $5x^2 - 9y^2 = 45$ ને સ્પર્શક $y = x + 2$ નું સ્પર્શબિંદુ કયું છે?

બિંદુ $P(h, k)$ નો બિંદુપથ શોધો જેથી રેખા $y = hx + k$ એ અતિવલય $4x^2 - 3y^2 = 1$ ને સ્પર્શક હોય.

જો $\sqrt{5} y - \sqrt{8} = 0$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + 1 = 0$ ના નિયામિકાનું સમીકરણ હોય અને $\frac{\sqrt{5}}{2}$ તેની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો $\frac{1}{a} =$

અતિવલય $x^2-3y^2=3$ ના બિંદુ $(\sqrt{3}, 0)$ આગળના સ્પર્શક અને અતિવલયના અનંતસ્પર્શકો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

જો સમીકરણ $x^2 - 5x - 14 = 0$ ના બીજ પૈકીનું એક બીજ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની અર્ધ-અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ હોય અને બીજા બીજનો વર્ગ એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ હોય,તો ધન $x$-અક્ષ પર આવેલા અતિવલયનું નાભિ કયું છે?

ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતું એક અતિવલય (hyperbola) બિંદુ $(5, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને $X$-અક્ષ પર તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $8$ છે. તો તેના અનુબદ્ધ અતિવલય (conjugate hyperbola) ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.