a અને L ના મૂલ્યો સાથેનો વિકલ્પ(ઓ) જે નીચેના | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $f(t) = e^t(\sin^6 at + \cos^4 at)$. આપણે જોઈએ છીએ કે $a=2$ અને $a=4$ માટે,વિધેય $f(t)$ એ $f(t+\pi) = e^{t+\pi}(\sin^6 a(t+\pi) + \cos^4 a

Vedclass · Accepted Answer

$(A, C)$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $f(t) = e^t(\sin^6 at + \cos^4 at)$. આપણે જોઈએ છીએ કે $a=2$ અને $a=4$ માટે,વિધેય $f(t)$ એ $f(t+\pi) = e^{t+\pi}(\sin^6 a(t+\pi) + \cos^4 a(t+\pi)) = e^{\pi} e^t(\sin^6 at + \cos^4 at) = e^{\pi} f(t)$ સંતોષે છે,કારણ કે બેકી પૂર્ણાંક $a$ માટે $\sin(a(t+\pi)) = \sin(at)$ અને $\cos(a(t+\pi)) = \cos(at)$ થાય છે.ધારો કે $I_k = \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} f(t) dt$. તો $I_{k+1} = \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(t) dt$. $t = u + \pi$ આદેશ લેતા,આપણને $I_{k+1} = \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} f(u+\pi) du = e^{\pi} \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} f(u) du = e^{\pi} I_k$ મળે છે.આમ,$I_1 = A$,$I_2 = e^{\pi} A$,$I_3 = e^{2\pi} A$,અને $I_4 = e^{3\pi} A$,જ્યાં $A = \int_0^{\pi} f(t) dt$ છે.અંશ $\int_0^{4\pi} f(t) dt = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = A(1 + e^{\pi} + e^{2\pi} + e^{3\pi}) = A \frac{e^{4\pi}-1}{e^{\pi}-1}$ છે.તેથી,$L = \frac{A \frac{e^{4\pi}-1}{e^{\pi}-1}}{A} = \frac{e^{4\pi}-1}{e^{\pi}-1}$.આ $a=2$ અને $a=4$ બંને માટે સાચું છે. તેથી,વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.

$a$ અને $L$ ના મૂલ્યો સાથેનો વિકલ્પ(ઓ) જે નીચેના સમીકરણને સંતોષે છે તે છે: $\frac{\int_0^{4 \pi} e^t(\sin^6 at + \cos^4 at) dt}{\int_0^{\pi} e^t(\sin^6 at + \cos^4 at) dt} = L$.

Similar Questions

$\int_0^1 f(1 - x) \, dx$ નું મૂલ્ય નીચેનામાંથી કયા સંકલન સમાન છે?

જો $I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) dx$ હોય,તો $\int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin x + \cos x) dx =$

ધારો કે $[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના બરાબર મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. તો $\int_1^2 |2x - [3x]| dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

સંકલન $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 + \log \frac{\pi-x}{\pi+x}\right) \cos x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module