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Question

(C) माना $f(x) = x^4+ax^3+\frac{3x^2}{2}+1$. सबसे पहले,प्रथम अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 4x^3+3ax^2+3x$. इसके बाद,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = 1

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$2$

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(C) माना $f(x) = x^4+ax^3+\frac{3x^2}{2}+1$. सबसे पहले,प्रथम अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 4x^3+3ax^2+3x$. इसके बाद,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = 12x^2+6ax+3$. हमें दिया गया है कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $f''(x) > 0$,इसलिए $12x^2+6ax+3 > 0$. $3$ से विभाजित करने पर,हमें $4x^2+2ax+1 > 0$ प्राप्त होता है। किसी द्विघात समीकरण $Ax^2+Bx+C > 0$ के सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,विविक्तकर $D  0$ होना चाहिए। यहाँ $A = 4 > 0$,इसलिए हमें $D $D = (2a)^2 - 4(4)(1) $4a^2 - 16 $a^2 इसका अर्थ है कि $-2 अतः $a$ का अधिकतम मान $2$ है।

$a$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए ताकि $x^4+ax^3+\frac{3x^2}{2}+1$ का द्वितीय अवकलज सभी वास्तविक $x$ के लिए धनात्मक हो।

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