વર્તુળના કેન્દ્રથી $5 \, cm$ દૂર આવેલા બિંદુ $A$ માંથી દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $4 \, cm$ છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો. ($, cm$ માં)

સાબિત કરો કે વર્તુળને પરિગત ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ પૂરક ખૂણાઓ આંતરે છે.

બિંદુ $Q$ થી વર્તુળના સ્પર્શકની લંબાઈ $24 \, cm$ છે અને કેન્દ્રથી $Q$ નું અંતર $25 \, cm$ છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા ( $cm$ માં) શોધો.

આકૃતિમાં,$XY$ અને $X'Y'$ એ $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળના બે સમાંતર સ્પર્શકો છે અને $C$ સ્પર્શબિંદુ ધરાવતો બીજો સ્પર્શક $AB$ એ $XY$ ને $A$ માં અને $X'Y'$ ને $B$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $\angle AOB = 90^{\circ}$.

એક બાહ્ય બિંદુ $T$ માંથી કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળને બે સ્પર્શકો $TP$ અને $TQ$ દોરવામાં આવ્યા છે. સાબિત કરો કે $\angle PTQ = 2 \angle OPQ$.

$5 \, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના બિંદુ $P$ આગળનો સ્પર્શક $PQ$ એ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી રેખાને બિંદુ $Q$ માં મળે છે,જેથી $OQ = 12 \, cm$ થાય. $PQ$ ની લંબાઈ ($cm$ માં) શોધો.