સાબિત કરો કે વર્તુળને પરિગત ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ પૂરક ખૂણાઓ આંતરે છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એ $O$ કેન્દ્રિત વર્તુળને પરિગત ચતુષ્કોણ છે જે વર્તુળને $P, Q, R, S$ બિંદુઓ પર સ્પર્શે છે. ચાલો ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓને વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે જોડીએ.
$\triangle OAP$ અને $\triangle OAS$ ને ધ્યાનમાં લો:
$AP = AS$ (એક જ બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકો)
$OP = OS$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OA = OA$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$\triangle OAP \cong \triangle OAS$ ($SSS$ એકરૂપતાની શરત).
આમ,$\angle POA = \angle AOS$,જેનો અર્થ છે કે $\angle 1 = \angle 8$.
તે જ રીતે,આપણે દર્શાવી શકીએ કે:
$\angle 2 = \angle 3$
$\angle 4 = \angle 5$
$\angle 6 = \angle 7$
કેન્દ્રની આસપાસના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોવાથી:
$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 + \angle 7 + \angle 8 = 360^{\circ}$
સમાન ખૂણાઓ મૂકતા:
$(\angle 1 + \angle 8) + (\angle 2 + \angle 3) + (\angle 4 + \angle 5) + (\angle 6 + \angle 7) = 360^{\circ}$
$2\angle 1 + 2\angle 2 + 2\angle 5 + 2\angle 6 = 360^{\circ}$
$2(\angle 1 + \angle 2) + 2(\angle 5 + \angle 6) = 360^{\circ}$
$(\angle 1 + \angle 2) + (\angle 5 + \angle 6) = 180^{\circ}$
આમ,$\angle AOB + \angle COD = 180^{\circ}$.
તે જ રીતે,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $\angle BOC + \angle DOA = 180^{\circ}$.
આમ,વર્તુળને પરિગત ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ પૂરક ખૂણાઓ આંતરે છે.