int_0^{2pi } {sqrt {1 + sin frac{x}{2}} ,dx = | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि $1 + \sin 	heta = (\sin \frac{	heta}{2} + \cos \frac{	heta}{2})^2$ होता है। अतः,$\sqrt{1 + \sin \frac{x}{2}} = \sqrt{(\sin \fra

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$8$

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(C) हम जानते हैं कि $1 + \sin 	heta = (\sin \frac{	heta}{2} + \cos \frac{	heta}{2})^2$ होता है। अतः,$\sqrt{1 + \sin \frac{x}{2}} = \sqrt{(\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4})^2} = |\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4}|$। चूंकि $x \in [0, 2\pi]$,इसलिए $\frac{x}{4} \in [0, \frac{\pi}{2}]$,जहाँ $\sin \frac{x}{4}$ और $\cos \frac{x}{4}$ दोनों धनात्मक हैं। इसलिए,समाकलन $\int_0^{2\pi} (\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4}) dx$ हो जाता है। समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $= [-4 \cos \frac{x}{4} + 4 \sin \frac{x}{4}]_0^{2\pi}$ $= (-4 \cos \frac{\pi}{2} + 4 \sin \frac{\pi}{2}) - (-4 \cos 0 + 4 \sin 0)$ $= (-4(0) + 4(1)) - (-4(1) + 4(0))$ $= 4 - (-4) = 8$.

$\int_0^{2\pi } {\sqrt {1 + \sin \frac{x}{2}} \,dx = } $

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